3. Dapatkan deret Taylor dari f(x) = 2/x di a = 2dan dari soal diatas tentukan juga deret maclaurin nya​

1. 3. Dapatkan deret Taylor dari f(x) = 2/x di a = 2dan dari soal diatas tentukan juga deret maclaurin nya​

Jawaban:

maaf kalau gak jelas

Penjelasan dengan langkah-langkah:

di folbackbya

2. Deret Maclaurin dari soal diatas

n.b. : Saya pakai latex, ya

[tex]$\begin{align}f(x)&=x\sqrt{1+x^2}&=x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\end{align}[/tex]

Misal, bentuk perkalian uv

perhatikan bentuk v, manfaatkan deret binomial.

[tex]$\begin{align}x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}&=x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1^{\frac{1}{2}-k}\times (x^2)^k\times \Pi_{i=0}^{k-1} (\frac{1}{2}-k)}{k!} \\ &=x(1+\frac{1}{2}x^2+(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(x^2)^2+...) \\ &=x+\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{8}x^5 + \frac{1}{16}x^7+...\end{align}[/tex]

3. Uraikan deret Taylor di sekitar x = 0 (deret Maclaurin), dari fungsi-fungsi berikut : a. y=cos⁡ x b. y=sin⁡ x c. y=tan⁡ x Terima kasihhh :)

b. y=sin x
maaf kalau salah atau gk lengkap

4. Uraikan () = sin ke dalam deret taylor terpotong sampai orde 4, disekitar 0 = 1

Untuk menguraikan fungsi \(\sin(x)\) dalam deret Taylor terpotong sampai orde 4 di sekitar \(x = 0\), kita perlu menghitung turunan fungsi tersebut.

Pertama, kita memiliki fungsi \(\sin(x)\) dan titik ekspansi \(x = 0\). Kita dapat menentukan nilai koefisien deret Taylor dengan menggunakan rumus umum:

\[f^{(n)}(0) = \frac{1}{n!} \left(\frac{d}{dx}\right)^n f(x) \bigg|_{x=0}\]

Mari kita hitung turunan fungsi \(\sin(x)\) hingga orde 4:

\(\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\)

\(\frac{d^2}{dx^2} \sin(x) = -\sin(x)\)

\(\frac{d^3}{dx^3} \sin(x) = -\cos(x)\)

\(\frac{d^4}{dx^4} \sin(x) = \sin(x)\)

Sekarang kita dapat menentukan nilai-nilai turunan ini di \(x = 0\):

\(f(0) = \sin(0) = 0\)

\(f'(0) = \cos(0) = 1\)

\(f''(0) = -\sin(0) = 0\)

\(f'''(0) = -\cos(0) = -1\)

\(f''''(0) = \sin(0) = 0\)

Menggunakan rumus deret Taylor, kita dapat menguraikan fungsi \(\sin(x)\) menjadi deret:

\[\sin(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(0)}{2!} \cdot x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} \cdot x^3 + \frac{f''''(0)}{4!} \cdot x^4\]

\[\sin(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1) \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!}\]

\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{6}\]

Jadi, deret Taylor terpotong sampai orde 4 untuk \(\sin(x)\) di sekitar \(x = 0\) adalah \(x - \frac{x^3}{6}\).

makasihnya jangan lupa : http://saweria.co/yusufwahyur

5. Tentukan 5 suku tak nol pertama dari deret Maclaurin untuk fungsi f(x)=e^(-2x)

Jawaban:

93993939339838

100

Penjelasan dengan langkah-langkah:

10×100299394849388383848

6. Gaisssss mhonn bntu polinom deret taylor soal terlampirr​

Jawab:

[tex]\displaystyle f(x,y)=\frac{3x^3}{2-2x^2-2y^2}\\f(1,1)=\frac{3\cdot1^3}{2-2\cdot1^2-2\cdot1^2}\\f(x,y)=\frac{3x^3}{2-2x^2-2y^2}\\f(1,1)=\frac{3}{2-2-2}\\f(1,1)=-\frac{3}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle f_x(x,y)=\frac{9x^2(2-2x^2-2y^2)-3x^3(-4x)}{(2-2x^2-2y^2)^2}\\f_x(x,y)=\frac{18x^2-18x^4-18x^2y^2+12x^4}{(2-2x^2-2y^2)^2}\\f_x(x,y)=\frac{(1-y^2)18x^2-6x^4}{(2-2x^2-2y^2)^2}\\f_x(1,1)=\frac{(1-1^2)18\cdot1^2-6\cdot1^4}{(2-2\cdot1^2-2\cdot1^2)^2}\\f_x(1,1)=\frac{0\cdot18-6}{(2-2-2)^2}\\f_x(1,1)=\frac{-6}{4}\\f_x(1,1)=-\frac{3}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle f_y(x,y)=\frac{0(2-2x^2-2y^2)-3x^3(-4y)}{(2-2x^2-2y^2)^2}\\f_y(x,y)=\frac{12x^3y}{(2-2x^2-2y^2)^2}\\f_y(1,1)=\frac{12\cdot1^3\cdot1}{(2-2\cdot1^2-2\cdot1^2)^2}\\f_y(1,1)=\frac{12}{(2-2-2)^2}\\f_y(1,1)=\frac{12}{4}\\f_y(1,1)=3[/tex]

[tex]\displaystyle f_{xx}(x,y)=\frac{((1-y^2)36x-24x^3)(2-2x^2-2y^2)^2+((1-y^2)18x^2-6x^4)(8x)}{((2-2x^2-2y^2)^2)^2}\\f_{xx}(x,y)=\frac{(1-y^2)36x-24x^3}{(2-2x^2-2y^2)^2}+\frac{8x((1-y^2)18x^2-6x^4)}{(2-2x^2-2y^2)^4}\\f_{xx}(1,1)=\frac{(1-1^2)36\cdot1-24\cdot1^3}{(2-2\cdot1^2-2\cdot1^2)^2}+\frac{8\cdot1((1-1^2)18\cdot1^2-6\cdot1^4)}{(2-2\cdot1^2-2\cdot1^2)^4}\\f_{xx}(1,1)=\frac{(1-1)36-24}{(2-2-2)^2}+\frac{8((1-1)18-6)}{(2-2-2)^4}\\f_{xx}(1,1)=-\frac{24}{4}-\frac{48}{16}\\f_{xx}(1,1)=-6-3\\f_{xx}(1,1)=-9[/tex]

[tex]\displaystyle f_{xy}(x,y)=\frac{36x^2y(2-2x^2-2y^2)^2-12x^3y(-8x)}{((2-2x^2-2y^2)^2)^2}\\f_{xy}(x,y)=\frac{36x^2y(2-2x^2-2y^2)^2+96x^4y}{(2-2x^2-2y^2)^4}\\f_{xy}(1,1)=\frac{36\cdot1^2\cdot1(2-2\cdot1^2-2\cdot1^2)^2+96\cdot1^4\cdot1}{(2-2\cdot1^2-2\cdot1^2)^4}\\f_{xy}(1,1)=\frac{36(2-2-2)^2+96}{(2-2-2)^4}\\f_{xy}(1,1)=\frac{36\cdot4+96}{16}\\f_{xy}(1,1)=9+6\\f_{xy}(1,1)=15[/tex]

[tex]\displaystyle f_{yy}(x,y)=\frac{12x^3(2-2x^2-2y^2)^2-12x^3y(-8y)}{((2-2x^2-2y^2)^2)^2}\\f_{yy}(x,y)=\frac{12x^3(2-2x^2-2y^2)^2+96x^3y^2}{(2-2x^2-2y^2)^4}\\f_{yy}(1,1)=\frac{12(2-2-2)^2+96}{(2-2-2)^4}\\f_{yy}(1,1)=\frac{48+96}{16}\\f_{yy}(1,1)=3+6\\f_{yy}(1,1)=9[/tex]

[tex]\displaystyle f(x,y)=f(a,b)+\frac1{1!}((x-a)f_x(a,b)+(y-b)f_y(a,b))+\frac1{2!}(f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2)\\f(x,y)=f(1,1)+(x-1)f_x(1,1)+(y-1)f_y(1,1)+\frac1{2}(f_{xx}(1,1)(x-1)^2+2(x-1)(y-1)f_{xy}(1,1)+f_{yy}(1,1)(y-1)^2)\\f(x,y)=-\frac32-\frac32(x-1)+3(y-1)+\frac1{2}(-9(x-1)^2+30(x-1)(y-1)+9(y-1)^2)[/tex]

Beberapa konsep yang dipakai:

[tex]\displaystyle \triangleright~f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\\\triangleright~f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\\\triangleright~f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)\\\triangleright~f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)\\\triangleright~f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_x(x,y))\\\triangleright~\frac{d}{dx}(y_1+y_2+\cdots+y_n)=y'_1+y'_2+\cdots+y'_n\\\triangleright~\frac{d}{dx}\left(\frac uv\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\\triangleright~\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1}[/tex]

7. Deret MacLaurin untuk f(x) = 1/1-2x

Jawaban:

sulit ei soal nya

Penjelasan dengan langkah-langkah:

sorry the same time as a result of the most important thing is that the only y the same time as a result of

8. Tentukan Deret Taylor dari fungsi f(x) = x^3 - 18, dengan deret taylor di a = 2

taylor series (deret taylor):

f(x) = f(a) + f'(a)•(x-a) + f''(a)/2! • (x-a)² + f"'(a)/3! • (x-a)³

(berhenti di 3 karena polinomnya berderajat 3).

f(x) = x³-18

f(2) = 2³-18 = -10

f'(x) = 3x²

f'(2) = 12

f"(x) = 6x

f"(2) = 12

f"'(x) = 6

f"'(2) = 6

berarti deret taylornya:

f(x) = f(2) + f'(2)•(x-2) + f"(2)/2! • (x-2)² + f"'(2)/3! • (x-2)³

f(x) = -10 + 12•(x-2) + 12/2 • (x-2)² + 6/6 • (x-2)³

f(x) = (x-2)³ + 6(x-2)² + 12(x-2) - 10

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

[tex]\displaystyle f(x) = x^3 - 18\\f(x) = x^3 - 3\cdot 2\cdot x^2 + 3\cdot 4\cdot x - 8 + 3\cdot 2\cdot x^2 - 3\cdot 4\cdot x + 8-18\\f(x) = (x-2)^3 + 6x^2 - 12x - 10 = (x-2)^3 + 3(x^2+x^2-4x) - 10\\f(x) = (x-2)^3 + 3(x^2-4x+4 - 4)+3x^2 - 10 \\f(x) = (x-2)^3 + 3(x-2)^2+3x^2 - 10 - 12\\f(x) = (x-2)^3 + 3(x-2)^2+3x^2-3\cdot 4\cdot x + 3\cdot 4\\ +3\cdot 4\cdot x - 3\cdot 4 - 22\\f(x) = (x-2)^3 + 6(x-2)^2 + 12x-34 \\[/tex]

[tex]f(x)= (x-2)^3 + 6(x-2)^2 + 12x-24 - 10 \\\\ \boxed{\boxed{f(x) = (x-2)^3 + 6(x-2)^2 + 12(x-2)-10}}\\\\[/tex]

9. Diketahui deret Maclaurin untuk e-2x dengan x = 0.1

Jawaban:

32

___

5!

Penjelasan dengan langkah-langkah:

kan dari 1 2/1 × 4/2 × 8/3 × 16/4 × jadi 32/5.

10. Diketahui f(x) = sin 2x. Tentukan ekspansi deret Maclaurin, sampai 4 suku saja.​

Hasil ekspansi dari fungsi f(x) = sin (2x) dengan deret MacLaurin sampai empat suku (order nol sampai order tiga) adalah 2x - ⁴/₃ x³. Hasil deret MacLaurin ini merupakan pendekatan hasil dari fungsi f(x), artinya:

f(x) = sin (2x) ≅ 2x - ⁴/₃ x³

Penjelasan dengan langkah-langkah

Deret MacLaurin merupakan salah satu bentuk khusus dari deret Taylor atau dapat disebut deret Taylor Baku. Berikut bentuk umum dari deret MacLaurin dengan ekspansi sampai empat suku:

[tex]\bf f(x) = \sum \limits^3_{n=0}{\dfrac{f^n(0)}{n!}(x)^n} = f(0) +\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3[/tex]

Berikut syarat-syarat suatu fungsi f(x) yang dapat diekspansikan dengan deret MacLaurin:

Fungsi f(x) kontinu di x = 0.
Artinya:
[tex]\sf \lim_{x \to 0} f(x) = f(0)[/tex]Nilai dari turunan f(0), mulai dari turunan pertama, kedua, dan seterusnya adalah terdefinisi.

Diketahui:

f(x) = sin (2x).

Ditanyakan:

[tex]\sf f(x) = sin(2x) =\sum\limits_{n=0}^3{\dfrac{f^{n}(0)}{n!}x^n}=?[/tex]

Penyelesaian:

Langkah 1
Menentukan hasil turunan fungsi f(x) sampai suku ke-4 (turunan ketiga).

Suku ke-1:
f(x) = sin (2x)Suku ke-2:
f'(x) = 2 cos (2x)Suku ke-3:
f''(x) = - 4 sin (2x)Suku ke-4:
f'''(x) = - 8 cos (2x)

Langkah 2
Melakukan substitusi nilai x = 0 pada setiap hasil turunan fungsi f(x).

f(0) = sin (0)
f(0) = 0f'(0) = 2 cos (0)
f'(0) = 2 (1)
f'(0) = 2f''(0) = - 4 sin (0)
f''(0) = - 4 (0)
f''(0) = 0f'''(x) = - 8 cos (0)
f'''(x) = - 8 (1)
f'''(x) = - 8

Langkah 3
Substitusi nilai pada langkah 2 ke deret MacLaurin.

[tex]\begin{array}{ll} \sf f(x) &\sf = \sum \limits^3_{n=0}{\dfrac{f^n(0)}{n!}(x)^n} \\\\\sf &\sf = f(0) +\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 \\\\\sf &\sf = 0 + \dfrac{2}{1}x+\dfrac{0}{2\times 1}x^2+\dfrac{-8}{3\times 2\times 1}x^3\\\\&\sf =2x-\dfrac{4}{3}x^3.\end{array}[/tex]

Pelajari lebih lanjutMateri tentang penguraian deret Taylor dari order nol hingga tiga:
https://brainly.co.id/tugas/50890176Materi tentang penguraian deret Taylor lain sampai order 4:
https://brainly.co.id/tugas/22972988

______________

Detail jawaban

Kelas    : XI
Mapel  : Matematika
Bab      : 5 - Suku Banyak
Kode    : 11.2.5

#SolusiBrainlyCommunity

11. tentukan lima suku yang pertama deret taylor e× di sekitar titik x=2​

pertama kita lihat dulu pola turunan

[tex]f^{(0)}(x) = e^x\\f^{(1)}(x) = e^x\\f^{(2)}(x) = e^x\\\dots[/tex]

didapat

[tex]f^{(n)}(x) = e^x[/tex]

sehingga

[tex]f^{(n)}(2) = e^2[/tex]

menggunakan definisi deret taylor di sekitar titik x = a

[tex]\displaystyle{}f(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n[/tex]

maka

[tex]\displaystyle{}f(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{e^2}{n!}(x-2)^n\\\boxed{f(x) = e^2\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-2)^n}{n!}}[/tex]

maka lima suku pertamanya adalah

[tex]\displaystyle{}f(x) = e^2\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-2)^n}{n!}\\f(x) = \frac{e^2}{1} + \frac{e^2(x-2)^1}{1} + \frac{e^2(x-2)^2}{2} + \frac{e^2(x-2)^3}{6} + \frac{e^2(x-2)^4}{24} + \dots[/tex]

12. Ekspansikan f(x) = e^x dlam deret Maclaurin.Helpme$(

Materi Barisan dan Deret Tak Hingga

13. Tentukan deret maclaurin untuk fungsi f(x) = 1/1+x

untuk fungsi tersebut, mari kita coba lihat pola turunannya

[tex]\displaystyle{}f^{(0)}(x)=\frac{1}{1+x}\\f^{(1)}(x) = \frac{-1}{(1+x)^2}\\f^{(2)}(x) = \frac{2}{(1+x)^3}\\f^{(3)}(x) = \frac{-6}{(1+x)^4}\\\dots\\[/tex]

dari itu, ditemukan pola

[tex]\displaystyle{}f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}[/tex]

dan

[tex]\displaystyle{}f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^nn!}{(1+0)^{n+1}} = (-1)^nn![/tex]

dengan definisi deret McLaurin

[tex]\displaystyle{}f(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\f(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn!}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n\\\boxed{f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n }\\f(x) = 1 -x + x^2 - x^3 + \dots[/tex]

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

polinom rasional bisa dinyatakan sebagai deret geometri tak hingga, dalam hal ini a = 1, karena jika dimasukkan k = 0 maka a = 1

14. cari deret taylor Pada fungsi f(x) = ex²​

soal :

cari deret taylor Pada fungsi f(x) = ex²​.

jawab :

[tex]\mathbf{rumus\ taylor=}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}[/tex]

[tex]n=0: \frac{f(0)(x-0)^{0}}{0 !}=\frac{e(0)^{2}(1)}{0 !}=\frac{0}{0 !}[/tex]

[tex]n=1: \frac{f^{\prime}(0)(x-0)^{1}}{1 !}=\frac{2 e(0)(x)}{1 !}=\frac{0}{1 !}[/tex]

[tex]n=2: \frac{f^{\prime \prime}(0)(x-0)^{2}}{2 !}=\frac{2 e x^{2}}{2 !}=\frac{2 e x^{2}}{2 !}[/tex]

[tex]n=3: \frac{f^{\prime \prime}(0)(x-0)^{3}}{3 !}=\frac{0 x^{3}}{3 !}=\frac{0}{3 !}[/tex]

[tex]n=4: \frac{f^{(4)}(0)(x-0)^{4}}{4 !}=\frac{0 x^{4}}{4 !}=\frac{0}{4 !}[/tex]

[tex]n=5: \frac{f^{(5)}(0)(x-0)^{5}}{5 !}=\frac{0 x^{5}}{5 !}=\frac{0}{5 !}[/tex]

[tex]n=6: \frac{f^{(6)}(0)(x-0)^{6}}{6 !}=\frac{0 x^{0}}{6 !}=\frac{0}{6 !}[/tex]

[tex]n=7: \frac{f^{f^{t h}(0)(x-0)^{r}}}{7 !}=\frac{0 x^{c}}{7 !}=\frac{0}{7 !}[/tex]

[tex]n=8: \frac{f^{(8)}(0)(x-0)^{8}}{8 !}=\frac{0 x^{8}}{8 !}=\frac{0}{8 !}[/tex]

[tex]n=9: \frac{f^{(9)}(0)(x-0)^{9}}{9 !}=\frac{0 x^{9}}{9 !}=\frac{0}{9 !}[/tex]

[tex]\textcolor{#2B7FBB}{\mathbf{sekian\ g\ trima\ gaji\ janlup\ leks\ }}[/tex]

15. Tentukan deret Taylor Dari fungsi, dengan deret Taylor di a = 2 f (x) = x³ - 08

f(x) = x³ - 08

f(2) = (2)³ - (2)8

f(2) = 8 - 16

f(x) = 16 - 8

f(x) = 8

16. Tentang Deret TaylorMinta tolong kakak dan abang sesuai ada di foto​

Jawaban:

f(x) = 0 + 2x/1! + 0 + (-8x^3)/3! + 0 + (32x^5)/5! + 0 + (-128x^7)/7!

atau

f(x) = 2x - (8x^3)/3! + (32x^5)/5! - (128x^7)/7!

Penjelasan:

Fungsi f(x) = sin 2x memiliki turunan hingga orde tak terhingga, sehingga deret Taylor-nya adalah sebagai berikut:

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)^2/2! + f'''(x0)(x-x0)^3/3! + ...

Dalam hal ini, x0 = 0, sehingga:

f(0) = sin(2*0) = 0

f'(x) = 2cos(2x), sehingga f'(0) = 2cos(2*0) = 2

f''(x) = -4sin(2x), sehingga f''(0) = -4sin(2*0) = 0

f'''(x) = -8cos(2x), sehingga f'''(0) = -8cos(2*0) = -8

f''''(x) = 16sin(2x), sehingga f''''(0) = 16sin(2*0) = 0

f'''''(x) = 32cos(2x), sehingga f'''''(0) = 32cos(2*0) = 32

f''''''(x) = -64sin(2x), sehingga f''''''(0) = -64sin(2*0) = 0

f'''''''(x) = -128cos(2x), sehingga f'''''''(0) = -128cos(2*0) = -128

Dengan demikian, deret Taylor untuk f(x) = sin 2x dengan x0 = 0 hingga orde 7 adalah:

f(x) = 0 + 2x/1! + 0 + (-8x^3)/3! + 0 + (32x^5)/5! + 0 + (-128x^7)/7!

atau

f(x) = 2x - (8x^3)/3! + (32x^5)/5! - (128x^7)/7!

semoga membantu:)

17. Deret taylor f(x)=2sin(2x), pada x=phi/4 adalah...

Jawaban:

Ekspansi deret taylor di sekitar x = a:

$\begin{aligned}F(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...\end{aligned}

\begin{gathered}$\begin{aligned}f(x)&=\sin(2x),&\ f(\frac{\pi}{2})&=0 \\ f'(x)&=2\cos(2x),&\ f'(\frac{\pi}{2})&=-2 \\ f''(x)&=-4\sin(2x),&\ f''(\frac{\pi}{2})&=0 \\ f'''(x)&=-8\cos(2x),&\ f'''(\frac{\pi}{2})&=8 \\ \text{dst, maka}\end{aligned}\end{gathered}

\begin{gathered}$\begin{aligned}F(x)&=0+(-2)(x - \frac{\pi}{2})+0+\frac{8}{3!}(x-\frac{\pi}{2})^3+0+\frac{(-32)}{5!}(x-\frac{\pi}{2})^5+... \\ &=-2(x-\frac{\pi}{2})+\frac{8}{3!}(x-\frac{\pi}{2})^3-\frac{32}{5!}(x-\frac{\pi}{2})^5+\frac{128}{7!}(x-\frac{\pi}{2})^7+...\end{aligned}\end{gathered}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

maaf kalau salah

18. Deret maclaurin dari cos x (ekspansikan)

Materi Deret Maclaurin dan Taylor

Pembahasan terlampir

19. Manfaat deret taylor

Jawaban:

deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilai nya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik

20. tentukan deret taylor f (x) = x e^x

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

21. Deretkan ke deret taylor F(x)= 1/4x+8 di x=2

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

22. Jika g(x)= sin(3x),carilah deret Maclaurinnya?​

• Trigonometri

-

Deret Taylor

[tex] \boxed{ \tt f(x) = \sin(3x) }[/tex]

Mencari Turunan Fungsi

[tex] \: \: \: \: \tt f'(x) = 3 \cos(3x) \\ \tt \: \: f''(x) = - 9 \sin(3x) \\ \tt f'''(x) = - 27 \cos(3x) \\ \: \: \: \tt {f}^{4} (x) = 81 \sin(3x) \\ \: \: \: \tt {f}^{5} (x) = 243 \cos(3x) [/tex]

Mencari Nilai x = 0 tiap turunan

[tex] \: \: \: \: \tt f'(0) = 3 \cos(0) = 3 \\ \tt \: \: f''(0) = - 9 \sin(0) = 0 \\ \tt f'''(0) = - 27 \cos(0) = - 27\\ \: \: \: \tt {f}^{4} (0) = 81 \sin(0) = 0 \\ \: \: \: \tt {f}^{5} (0) = 243 \cos(0) = 243[/tex]

Menentukan Deret MacLaurin

[tex] \tt \sin(3x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} {x}^{2} + \frac{f'''(0)}{3!} {x}^{3} + \frac{ {f}^{4}(0) }{4!} {x}^{4} + \frac{ {f}^{5} (0)}{5!} {x}^{5} + ... \\ \tt \sin(3x) =0 + 3 {x} + 0 - \frac{27}{6} {x}^{3} + 0 + \frac{243}{120} {x}^{5} \\ \tt \sin(3x) = 3x - \frac{9}{2} {x}^{3} + \frac{81}{40} {x}^{5} + ... [/tex]

•••

23. Tentukan Deret Taylor dari fungsi, dengan deret taylor di a = 2 () = ³ − 4​

Jawaban :

a = ( 4 - 2 )³

= ( 2 )³

= 2 × 2 × 2

= 4 × 2

=8

- Penyelesaian Soal - [tex] \: [/tex]

Penyelesaian :

a = 2 () = ³ − 4

a = (4 - 2)³a = ( 2 )³a = ( 2 × 2 × 2 )a = ( 4 × 2 ) a = 8

Kesimpulan

a = 8

i Hope This Help

24. tentukan deret maclaurin dari f(x)=1/1-x untuk 5 suku pertama

f(x) = 1 / (1 - x)
f(1) --> suku pertama = 1 / (1 - 1) = 1/0 = tak terhingga
f(2) --> suku kedua = 1/ (1 - 2) = 1 / -1 = -1
f(3) --> suku ketiga = 1/ (1 - 3) = -1/2
f(4) --> suku keempat = 1 / (1 - 4) = -1/3
f(5) --> suku kelima = 1 / (1 - 5) = -1/5

25. Deret taylor f(x)=sin(3x)

• Trigonometri

-

Deret Taylor

[tex] \boxed{ \tt f(x) = \sin(3x) }[/tex]

Misal kita akan mencari Deret taylor di x = 0

Mencari Turunan Fungsi

[tex] \: \: \: \: \tt f'(x) = 3 \cos(3x) \\ \tt \: \: f''(x) = - 9 \sin(3x) \\ \tt f'''(x) = - 27 \cos(3x) \\ \: \: \: \tt {f}^{4} (x) = 81 \sin(3x) \\ \: \: \: \tt {f}^{5} (x) = 243 \cos(3x) [/tex]

Mencari Nilai x = 0 tiap turunan

[tex] \: \: \: \: \tt f'(0) = 3 \cos(0) = 3 \\ \tt \: \: f''(0) = - 9 \sin(0) = 0 \\ \tt f'''(0) = - 27 \cos(0) = - 27\\ \: \: \: \tt {f}^{4} (0) = 81 \sin(0) = 0 \\ \: \: \: \tt {f}^{5} (0) = 243 \cos(0) = 243[/tex]

Menentukan Deret Taylor

[tex] \boxed{ \tt \sin(3x) = \sum\limits^{ \infty }_{n = 0} {f}^{n} x_{0} \frac{ {(x - x_{0})}^{n} }{n!} } [/tex]

Gunakan ekspansi diatas , diperoleh :

[tex] \tt \sin(3x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} (x - 0)^{1} + \frac{f''(0)}{2!} (x - 0)^{2} + \frac{f'''(0)}{3!} (x - 0)^{3} + \frac{ {f}^{4}(0) }{4!} (x - 0)^{4} + \frac{ {f}^{5} (0)}{5!} (x - 0)^{5} + ... \\ \tt \sin(3x) =0 + 3 {x} + 0 - \frac{27}{6} {x}^{3} + 0 + \frac{243}{120} {x}^{5} \\ \tt \sin(3x) = 3x - \frac{9}{2} {x}^{3} + \frac{81}{40} {x}^{5} + ...[/tex]

•••

Jawaban:

• Deret Taylor

---------------------

Terlampir pada Gambar

26. Ada yg tau? 1. Diketahui : = 24 + 3 + 2 + 2 a) Hampiri fungsi tersebut ke dalam deret Taylor disekitar 0 = 3 b) Hampiri fungsi tersebut ke dalam deret MacLaurin 2. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif sejati dan galat relatif hampiran.

Jawaban:

Contoh:

Hampiri fungsi f(x) = sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xₒ = 1.

Penyelesaian:

Kita harus menentukan turunan sin(x) terlebih dahulu sebagai berikut

f(x) = sin(x)

f’(x) = cos(x)

f’’(x) = -sin(x)

f’’’(x) = -cos(x)

f(4)(x) = sin(x),

dan seterusnya.

Maka,

Bila dimisalkan x – 1 = h, maka

= 0.8415 + 0.5403h + 0.4208h2 + 0.0901h3 + 0.0351h4 + …

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xₒ = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku.

Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

maaf kalo salahh semoga membantu

27. dapatkan deret Maclaurin dari y = In (1+x) sampai lima suku pertama yang tak nol

Deret MacLaurin

[tex]f(x) = f(0) + \frac{f'(0) }{1!} x + \frac{f''(0) }{2!} {x}^{2} + \frac{f'''(0) }{3!} {x}^{3} + \frac{f^{(iv)} (0) }{4!} {x}^{4} + \frac{f^{(v)} (0) }{5!} {x}^{5} + \frac{f^{(vi)} (0) }{6!} {x}^{6} + ... \\ [/tex]

==================================

Diketahui:

y = f(x) = ln (1 + x)

Karena hanya sampai lima suku pertama yang tak nol, maka hanya tentukan sampai turunan kelima.

f(x) = ln (1 + x) → f(0) = ln (1 + 0) = ln 1 = 0

f'(x) = (1 + x)⁻¹ → f'(0) = (1 + 0)⁻¹ = 1⁻¹ = 1

f''(x) = -1(1 + x)⁻² → f''(0) = -1(1 + 0)⁻² = -1(1⁻²) = -1

f'''(x) = 2(1 + x)⁻³ → f'''(0) = 2(1 + 0)⁻³ = 2(1⁻³) = 2

f⁽ᶦᵛ⁾(x) = -6(1 + x)⁻⁴ → f⁽ᶦᵛ⁾(0) = -6(1 + 0)⁻⁴ = -6(1⁻⁴) = -6

f⁽ᵛ⁾(x) = 24(1 + x)⁻⁵ → f⁽ᵛ⁾(0) = 24(1 + 0)⁻⁵ = 24(1⁻⁵) = 24

[tex]\\[/tex]

Deret MacLaurin dari y = ln (1 + x) :

[tex]f(x) = f(0) + \frac{f'(0) }{1!} x + \frac{f''(0) }{2!} {x}^{2} + \frac{f'''(0) }{3!} {x}^{3} + \frac{f^{(iv)} (0) }{4!} {x}^{4} + \frac{f^{(v)} (0) }{5!} {x}^{5} \\ [/tex]

[tex]f(x) = 0 + \frac{1}{1} x + \frac{( - 1)}{2} {x}^{2} + \frac{2}{6} {x}^{3} + \frac{( - 6)}{24} {x}^{4} + \frac{24}{120} {x}^{5} \\[/tex]

[tex]f(x) = 0 + \frac{1}{1} x - \frac{1}{2} {x}^{2} + \frac{1}{3} {x}^{3} - \frac{1}{4} {x}^{4} + \frac{1}{5} {x}^{5} \\[/tex]

[tex]f(x) = x - \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{3} }{3} - \frac{ {x}^{4} }{4} + \frac{ {x}^{5} }{5}\\[/tex]

Semoga membantu.

28. Tentukan deret Maclaurin dari cos x sampai orde 7

Jawab:

[tex]\displaystyle \cos x\approx 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}[/tex]

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Bentuk deret Maclaurin adalah sebagai berikut

[tex]\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots+\frac{f^n(0)}{n!}x^n[/tex]

Ekspansi kan f(x) = cos x

[tex]\displaystyle f(x)=\cos x\rightarrow f(0)=\cos 0=1\\f'(x)=-\sin x\rightarrow f'(0)=-\sin 0=0\\f''(x)=-\cos x\rightarrow f''(0)=-\cos 0=-1\\f'''(x)=\sin x\rightarrow f'''(0)=\sin 0=0\\f^4(x)=\cos x\rightarrow f^4(0)=\cos 0=1\\f^5(x)=f'(x)\rightarrow f^5(0)=f'(0)=0\\f^6(x)=f''(x)\rightarrow f^6(0)=f''(0)=-1\\f^7(x)=f'''(x)\rightarrow f^7(0)=f'''(0)=0[/tex]

maka

[tex]\displaystyle \cos x\approx1+0x+\frac{-1}{2}x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{0}{5!}x^5+\frac{-1}{6!}x^6+\frac{0}{7!}x^7\\\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}[/tex]

29. Tentukan deret Maclaurin dari f(x)=x^2 〖tan〗^(-1) x

soal kelas brp bro

Penjelasan dengan langkah-langkah:

ga ngerti gua

30. f (x) = 3/x dengan x = 2 tentukan deret Taylor dari fungsi tersebut

f(x) = 3/x, dengan x = 2, maka basis terdekat Xo = 1

Mencari nilai f(x) dengan x = 2 menggunakan deret Taylor

f(x) = 3/x       ⇒f(1) = 3/1 = 3
f '(x) = -3/x²  ⇒f '(1) = -3/1² = -3
f "(x) = 6/x³   ⇒f "(1) = 6/1³ = 6
f "'(x) = -18/x^4   ⇒f "'(1) = -18
f ""(x) = 72/x^5    ⇒f ""(1) = 72, dst

Maka,
f(x) = 3 + (-3)/1! + 6/2! (2-1) + (-18)/3! (2-1)² + 72/4! (2-1)³ + ....... ≈ 3/2 = 1,5

31. tentukan ekspansi deret maclaurin fungsi f(x)=1/1+x sampai dengan 6 suku saja​

[tex]f(x)=\frac{1}{1+x}[/tex]              [tex]f(0)=1[/tex]

[tex]f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}[/tex]      [tex]f'(0)=-1[/tex]

[tex]f''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}[/tex]        [tex]f''(0)=2[/tex]

[tex]f^3(x)=-\frac{3!}{(1+x)^4}[/tex]      [tex]f^3(0)=-3![/tex]

[tex]f^4(x)=\frac{4!}{(1+x)^5}[/tex]         [tex]f^4(0)=4![/tex]

[tex]f^5(x)=-\frac{5!}{(1+x)^6}[/tex]      [tex]f^5(0)=-5![/tex]

[tex]f^6(x)=\frac{6!}{(1+x)^7}[/tex]         [tex]f^6(0)=6![/tex]

Deret maclaurin orde 6 dari [tex]f(x)=\frac{1}{1+x}[/tex]  adalah

[tex]P_6(x)=f(0)+x.f'(0)+\frac{x^2}{2} f''(0)+\frac{x^3}{3!} f^3(0)+\frac{x^4}{4!} f^4(0)+\frac{x^5}{5!} f^5(0)+\frac{x^6}{6!} f^6(0)[/tex]

[tex]P_6(x)=(1)+x(-1)+\frac{x^2}{2} (2)+\frac{x^3}{3!} (-3!)+\frac{x^4}{4!} (4!)+\frac{x^5}{5!} (-5!)+\frac{x^6}{6!} (6!)[/tex]

[tex]P_6(x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6[/tex]

32. Nyatakan f(x)=1 / 2 - x dalam bentuk deret MacLaurin menggunakan notasi sigma.

Fungsi ()=1 / 2− memiliki suku-suku yang diberikan oleh:

() = ∞ ∑ (−) / !

Dimana adalah suku ke- dari deret MacLaurin dan adalah bilangan bulat positif.

Jadi, ()=1 / 2− dapat disatakan dalam bentuk deret MacLaurin sebagai berikut:

() = ∞ ∑ (−) / !

Catatan:

∞ menyatakan bahwa deret tersebut merupakan deret infinite (tak terhingga).adalah suku ke- dari deret MacLaurin.adalah bilangan bulat positif.! adalah faktorial dari (misalnya, 4! = 4 x 3 x 2 x 1).

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Fungsi f(x) = 1/2 - x dapat dinyatakan dalam bentuk deret MacLaurin menggunakan notasi sigma sebagai berikut:

f(x) = ∑ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

n = 0

Fungsi ini merupakan deret MacLaurin pertama dari fungsi f(x).

Untuk menghitung nilai f(x) pada suatu nilai x tertentu, kita bisa menghitung setiap terma dari deret tersebut dan menjumlahkannya. Misalnya, jika kita ingin menghitung nilai f(x) pada x = 1, maka kita bisa menghitung setiap terma dengan x = 1 seperti ini:

f(1) = (-1)^0 x^(2(0)+1) / (2(0)+1)! + (-1)^1 x^(2(1)+1) / (2(1)+1)! + (-1)^2 x^(2(2)+1) / (2(2)+1)! + ...

f(1) = 1/1 + (-1) x^3 / 3! + (-1)^2 x^5 / 5! + ...

f(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Jadi, nilai f(1) adalah sekitar 0,54.

Perlu diingat bahwa deret MacLaurin hanya merupakan aproksimasi dari fungsi asli, dan semakin banyak terma yang dihitung, semakin akurat aproksimasinya. Oleh karena itu, kita perlu menghitung cukup banyak terma agar mendapatkan aproksimasi yang cukup akurat.

33. Bantu kk!!!!ekspansikan f(x) = cos x dlm deret Maclaurin....

Materi Barisan dan Deret Tak Hingga.

34. Tentukan Deret Taylor dari fungsi, dengan deret taylor di a = 2 () = ³− 4​

a = (4 - 2)³

a = (2)³

a = 2 × 2 × 2

a = 4 × 2

a = 8

a = (4 - 2)³

a = (4 - 2)(4 - 2)(4 - 2)

a = 4(4 - 2) - 2(4 - 2)(4 - 2)

a = (16 - 8 - 8 + 4)(4 - 2)

a = (8 - 8 + 4)(4 - 2)

a = (0 + 4)(4 - 2)

a = 0(4 - 2) + 4(4 - 2)

a = 0 - 0 + 16 - 8

a = 0 + 16 - 8

a = 16 - 8

a = 8

:)

35. Tentukan deret Taylor fungsi f(x, y) = sinx cosy

Analisis Numerik

.

[tex]f(x,y)=\sin x\cos y[/tex]

Menentukan turunan parsial dari [tex]f(x,y)=\sin x\cos y[/tex]

[tex]f_{x}(x,y)=\cos x\cos y\\f_{y}(x,y)=-\sin x\sin y\\f_{xx}(x,y)=-\sin x\cos y\\f_{yy}(x,y)=-\sin x\cos y\\f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=-\cos x\sin y[/tex]

dan seterusnya

Maka Deret Taylor yang dihasilkan adalah...[tex]f(x,y)=f(x,y)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+\frac{1}{2!}((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b))+\dots\\\\f(x,y)=\sin x\cos y+(x-a)(\cos x\cos y)+(y-b)(-\sin a\sin b)+\frac{1}{2!}((x-a)^{2}(-\sin x\cos y)+2(x-a)(y-b)(-\cos x\sin y)+(y-b)^{2}(-\sin x\cos y))+\dots\\\\f(x,y)=\sin x\cos y+(x-a)(\cos x\cos y)-(y-b)(\sin a\sin b)-\frac{1}{2!}((x-a)^{2}(\sin x\cos y)+2(x-a)(y-b)(\cos x\sin y)+(y-b)^{2}(\sin x\cos y))+\dots[/tex].

.

Belajar Bersama Brainly

Lihat profilku dan support aku ya

36. Tentukan deret taylor dari (x-a) sampai (x-a)³

saya tuliskan rumusnya...

fungsinya masih f(x), bila f(x) =e^x, maka cari f'(x), f"(x), f'"(x) dst...

37. dapatkan deret maclaurin dari y = In (1 + x)

Deret MacLaurin

[tex]f(x) = f(0) + \frac{f'(0) }{1!} x + \frac{f''(0) }{2!} {x}^{2} + \frac{f'''(0) }{3!} {x}^{3} + \frac{f^{(iv)} (0) }{4!} {x}^{4} + \frac{f^{(v)} (0) }{5!} {x}^{5} + \frac{f^{(vi)} (0) }{6!} {x}^{6} + ... \\ [/tex]

==================================

Diketahui:

y = f(x) = ln (1 + x)

f(x) = ln (1 + x) → f(0) = ln (1 + 0) = ln 1 = 0

f'(x) = (1 + x)⁻¹ → f'(0) = (1 + 0)⁻¹ = 1⁻¹ = 1

f''(x) = -1(1 + x)⁻² → f''(0) = -1(1 + 0)⁻² = -1(1⁻²) = -1

f'''(x) = 2(1 + x)⁻³ → f'''(0) = 2(1 + 0)⁻³ = 2(1⁻³) = 2

f⁽ᶦᵛ⁾(x) = -6(1 + x)⁻⁴ → f⁽ᶦᵛ⁾(0) = -6(1 + 0)⁻⁴ = -6(1⁻⁴) = -6

f⁽ᵛ⁾(x) = 24(1 + x)⁻⁵ → f⁽ᵛ⁾(0) = 24(1 + 0)⁻⁵ = 24(1⁻⁵) = 24

f⁽ᵛᶦ⁾(x) = -120(1 + x)⁻⁶ → f⁽ᵛᶦ⁾(0) = -120(1 + 0)⁻⁶ = -120(1⁻⁶) = -120

Deret MacLaurin dari y = ln (1 + x) :

[tex]f(x) = f(0) + \frac{f'(0) }{1!} x + \frac{f''(0) }{2!} {x}^{2} + \frac{f'''(0) }{3!} {x}^{3} + \frac{f^{(iv)} (0) }{4!} {x}^{4} + \frac{f^{(v)} (0) }{5!} {x}^{5} + \frac{f^{(vi)} (0) }{6!} {x}^{6} + ... \\ [/tex]

[tex]f(x) = 0 + \frac{1}{1} x + \frac{( - 1)}{2} {x}^{2} + \frac{2}{6} {x}^{3} + \frac{( - 6)}{24} {x}^{4} + \frac{24}{120} {x}^{5} + \frac{( -120)}{720} {x}^{6} + ... \\[/tex]

[tex]f(x) = 0 + \frac{1}{1} x - \frac{1}{2} {x}^{2} + \frac{1}{3} {x}^{3} - \frac{1}{4} {x}^{4} + \frac{1}{5} {x}^{5} - \frac{1}{6} {x}^{6} + ...\\[/tex]

[tex]f(x) = x - \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{3} }{3} - \frac{ {x}^{4} }{4} + \frac{ {x}^{5} }{5} - \frac{ {x}^{6} }{6} + ...\\[/tex]

Semoga membantu.

38. Tentukan Deret taylor 1/x^2+1, a=1

Jawab:

Untuk menemukan deret Taylor dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1) di sekitar titik a = 1, kita perlu menghitung turunan-turunan dari fungsi tersebut dan mengevaluasinya pada titik a.

Pertama, kita dapat menghitung turunan-turunan dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1). Mari kita mulai dengan menghitung turunan pertama:

f'(x) = d/dx [1/(x^2 + 1)]

Menggunakan aturan rantai, kita dapat menghitung turunan ini sebagai berikut:

f'(x) = -2x/(x^2 + 1)^2

Selanjutnya, kita akan menghitung turunan kedua:

f''(x) = d/dx [-2x/(x^2 + 1)^2]

Menggunakan aturan rantai dan aturan turunan dari fungsi rasional, kita dapat menghitung turunan ini sebagai berikut:

f''(x) = (6x^2 - 2)/(x^2 + 1)^3

Setelah itu, kita akan menghitung turunan ketiga:

f'''(x) = d/dx [(6x^2 - 2)/(x^2 + 1)^3]

Dengan menggunakan aturan rantai dan aturan turunan dari fungsi rasional, kita dapat menghitung turunan ini sebagai berikut:

f'''(x) = (24x - 18x^3)/(x^2 + 1)^4

Selanjutnya, kita akan mengevaluasi turunan-turunan ini pada titik a = 1 untuk mendapatkan koefisien dalam deret Taylor:

f(1) = 1/(1^2 + 1) = 1/2

f'(1) = -2(1)/(1^2 + 1)^2 = -1/2

f''(1) = (6(1)^2 - 2)/(1^2 + 1)^3 = 2/8 = 1/4

f'''(1) = (24(1) - 18(1)^3)/(1^2 + 1)^4 = 6/16 = 3/8

Dengan menggunakan koefisien-koefisien ini, deret Taylor dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1) di sekitar a = 1 adalah:

f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)(x - 1)^2/2! + f'''(1)(x - 1)^3/3! + ...

f(x) = 1/2 - 1/2(x - 1) + 1/8(x - 1)^2 - 1/48(x - 1)^3 + ...

Ini adalah deret Taylor tak hingga dari fungsi f(x) = 1/(x^2 + 1) di sekitar a = 1.

39. Tentukan Deret Taylor dari fungsi, dengan deret taylor di a = 2f(x) = x^3 - 18

f(x) = 3/x ⇒f(1) = 3/1 = 3

f '(x) = -3/x² ⇒f '(1) = -3/1² = -3

f "(x) = 6/x³ ⇒f "(1) = 6/1³ = 6

f "'(x) = -18/x^4 ⇒f "'(1) = -18

f ""(x) = 72/x^5 ⇒f ""(1) = 72, dst

Maka,

f(x) = 3 + (-3)/1! + 6/2! (2-1) + (-18)/3! (2-1)² + 72/4! (2-1)³ + ....... ≈ 3/2 = 1,5

40. Ekspansikan f(x) = sin x , dalam deret taylor

Jawab:

x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Deret Maclaurin dirumuskan

[tex]\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}~x^2+\frac{f'''(x)}{3!}~x^3+\frac{f^4(0)}{4!}~x^4+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n[/tex]

f(x) = sin x → f(0) = sin 0 = 0

f '(x) = cos x → f '(0) = cos 0 = 1

f ''(x) = -sin x → f ''(0) = -sin 0 = 0

f '''(x) = -cos x → f '''(0) = -cos 0 = -1

f ⁴(x) = sin x → f ⁴(0) = sin 0 = 0

Ingat turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri

f ⁵(x) = f '(x) → f ⁵(0) = f '(0) = 1

f ⁶(x) = f ''(x) → f ⁶(0) = f ''(0) = 0

f ⁷(x) = f '''(x) → f ⁷(0) = f '''(0) = -1

f ⁸(x) = f ⁴(x) → f ⁸(0) = f ⁴(0) = 0

dan seterusnya

Maka ekspansi dari f(x) = sin x adalah

[tex]\displaystyle \sin x=0+1x+\frac{0}{2!}~x^2+\frac{-1}{3!}~x^3+\frac{0}{4!}~x^4+\frac{1}{5!}~x^5+\frac{0}{6!}~x^6+\frac{-1}{7!}~x^7+\frac{0}{8!}~x^8+...\\\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/tex]

x dalam radian.