Bagaimana menggunakan Metode Biseksi dan Regula falsi?
1. Bagaimana menggunakan Metode Biseksi dan Regula falsi?
Jawaban:
x=2 or x=y
Penjelasan dengan langkah-langkah:
x²-x-2=0
(x-2)(x+1)=0
x=2 or x=-1
2. Terapkan dengan metode biseksi pada fungsi METODE biseksi Fungsi : x^2 - 6x + 8 = 0 Dengan [a,b] = [3,6] E= 0,000001
Jawaban:
009/51818/(9172719)
3. Hitung akar 27 dan akar 50 dengan biseksi dan regula falsi ! Bandingkan ke dua metode tersebut ! Mana yang lebih cepat ?
Jawab:
mungkin pak kholid tau
Penjelasan dengan langkah-langkah:
4. Tentukan salah satu akar dari persamaan non linier f(x) = x³3x²0,5 dengan menggunakan Metode Biseksi. Jika diketahui nilai awal x = 0 dan x = 3,5 dan toleransi galat relatif x (XTOL) = 0,02 serta ketelitian hingga 2 desimal.c
Jawab:
Untuk mencari salah satu akar persamaan non-linier f(x) = x³ - 3x² + 0,5 menggunakan metode biseksi, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Tentukan batas awal interval [a, b] yang mengandung akar persamaan.
Dalam kasus ini, kita diketahui nilai awal x = 0 dan x = 3,5. Karena f(x) adalah fungsi monoton naik, kita dapat melihat bahwa f(0) = 0,5 dan f(3,5) = 27,125. Oleh karena itu, kita dapat memilih interval [0, 3,5] yang mengandung akar persamaan.
2. Hitung nilai tengah c pada interval [a, b].
c = (a + b) / 2
c = (0 + 3,5) / 2
= 1,75
3. Hitung nilai f(c).
f(c) = c³ - 3c² + 0,5
f(1,75) = (1,75)³ - 3(1,75)² + 0,5
= 4,515625
4. Periksa kriteria berhenti.
Jika |f(c)| ≤ toleransi galat relatif x (XTOL), maka c adalah akar yang ditemukan.
Dalam kasus ini, kita memiliki toleransi galat relatif x (XTOL) = 0,02.
|4,515625| = 4,515625 > 0,02
Kriteria berhenti belum terpenuhi, karena nilai |f(c)| > XTOL.
5. Periksa interval mana yang harus dipertahankan untuk iterasi berikutnya.
Jika f(a) * f(c) < 0, maka akar berada dalam interval [a, c].
Jika f(b) * f(c) < 0, maka akar berada dalam interval [c, b].
Jika f(c) = 0, maka c adalah akar persamaan.
Dalam kasus ini, f(0) = 0,5 dan f(1,75) = 4,515625.
f(0) * f(1,75) = 0,5 * 4,515625 = 2,2578125 > 0
Karena f(a) * f(c) > 0, maka akar berada dalam interval [c, b].
6. Ulangi langkah-langkah 2 hingga 5 dengan menggunakan interval [c, b] sebagai interval baru.
Iterasi ke-2:
a = 1,75
b = 3,5
c = (a + b) / 2 = (1,75 + 3,5) / 2 = 2,625
f(c) = (2,625)³ - 3(2,625)² + 0,5 = -1,71484375
Iterasi ke-3:
a = 2,625
b = 3,5
c = (a + b) / 2 = (2,625 + 3,5) / 2 = 3,0625
f(c) = (3,0625)³ - 3(3,0625)² + 0,5 = -0,553955078125
Iterasi ke-4:
a = 2,625
b = 3,0625
c = (a + b) / 2 = (2,625 + 3,0625) / 2 = 2,84375
f(c) = (2,84375)³ - 3(2,84375)² + 0,5 = -0,086669921875
Iterasi ke-5:
a = 2,84375
b = 3,0625
c = (a + b) / 2 = (2,84375 + 3,0625) / 2 = 2,953125
f(c) = (2,953125)³ - 3(2,953125)² + 0,5 = 0,2303466796875
Iterasi ke-6:
a = 2,84375
b = 2,953125
c = (a + b) / 2 = (2,84375 + 2,953125) / 2 = 2,8984375
f(c) = (2,8984375)³ - 3(2,8984375)² + 0,5 = 0,07177734375
Kriteria berhenti terpenuhi, karena |f(c)| = 0,07177734375 ≤ XTOL = 0,02.
Jadi, salah satu akar persamaan non-linier f(x) = x³ - 3x² + 0,5 adalah x = 2,8984375 dengan ketelitian hingga 2 desimal.
Atau
Untuk mencari salah satu akar persamaan non-linier f(x) = x³ - 3x² + 0,5 menggunakan metode biseksi, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Tentukan batas atas (a) dan batas bawah (b) yang mengapit akar. Dalam kasus ini, nilai awal x = 0 dan x = 3,5 dapat digunakan sebagai batas atas dan batas bawah.
a = 3,5
b = 0
2. Hitung nilai fungsi f(a) dan f(b).
f(a) = (3,5)³ - 3(3,5)² + 0,5 = 10,875
f(b) = (0)³ - 3(0)² + 0,5 = 0,5
3. Tentukan nilai tengah (c) antara a dan b.
c = (a + b) / 2 = (3,5 + 0) / 2 = 1,75
4. Hitung nilai fungsi f(c).
f(c) = (1,75)³ - 3(1,75)² + 0,5 = -0,234375
5. Periksa apakah f(c) mendekati nol dengan toleransi yang diberikan (XTOL = 0,02). Jika ya, maka c adalah salah satu akar persamaan.
|f(c)| = |-0,234375| = 0,234375
Jika |f(c)| < XTOL, maka c adalah salah satu akar.
Dalam kasus ini, 0,234375 < 0,02, sehingga c adalah salah satu akar persamaan.
6. Jika |f(c)| ≥ XTOL, tentukan apakah f(a) dan f(c) memiliki tanda yang sama atau berbeda. Jika memiliki tanda yang sama, gantilah a dengan c. Jika berbeda, gantilah b dengan c.
Dalam kasus ini, f(a) = 10,875 dan f(c) = -0,234375 memiliki tanda yang berbeda. Sehingga, kita gantilah b dengan c.
a = 3,5
b = 1,75
7. Ulangi langkah 3 hingga 6 sampai ditemukan akar dengan ketelitian yang diinginkan.
Kita dapat mengulangi langkah-langkah 3 hingga 6 dengan menggunakan nilai baru a = 3,5 dan b = 1,75.
c = (3,5 + 1,75) / 2 = 2,625
f(c) = (2,625)³ - 3(2,625)² + 0,5 = -0,06689453125
|f(c)| = |-0,06689453125| = 0,06689453125
0,06689453125 < 0,02
Dalam kasus ini, 0,06689453125 < 0,02, sehingga c adalah salah satu akar persamaan dengan ketelitian yang diinginkan.
Jadi, salah satu akar persamaan non-linier f(x) = x³ - 3x² + 0,5 dengan menggunakan metode biseksi adalah x = 2,625.
5. Nilai f(x) pada persamaan non linear: x3 + x2 - 3x -3 = 0 menggunakan metode biseksi dengan a = 1 dan b = 2, serta toleransi 0.01 adalah... ket: x merupakan titik tengah dari a dan b pilihan : f(x) = -2,612 f(x) = -1,875 f(x) = 2,612 f(x) = 1,875
Penjelasan dengan langkah-langkah:
6. Hitung akar dari f(x) = x3+ 4x2–10 dengan metode biseksi dan tentukan jumlah iterasi untuk mendapatkan akar x antara xa = 1 dan xb = 2 maka berapakah titik tengah atau f(xc)..
Teorema 7.1 (root) Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) ... Tabel 7.1. tabel <- root_table(f=function(x){x+exp(x)}, a=- 1, b=0, N=10) ... Gambar 7.5: Ilustrasi metode biseksi.
7. carilah akar dari a. X3-2X2+X-8=0 b. pada interval [1, 3]. c. metode biseksi d. Interval 10
Tahu tahu apa yang paling besar..?
8. Informasi atau mengadakan promosinyampaikantentang pameran sekolah adalaha sekretarisbiseksi humasc. bendaharad. seksi perlengkapan umumPameran hasil karya siswa tentang daurulang sampah bekas, ternyata mendapatsambutan positif dari para pengunjungSikap yang baik untuk menanggapi haltersebut adalaha merasa puas hati karena hasipamerannya mendapat dukungan da
Jawaban:
1. Informasi atau mengadakan promosi penyampaian tentang pameran sekolah adalah d. seksi perlengkapan umum
penjelasan :
• sekretaris bertugas untuk mencatat keperluan pameran
• Biseksi humas bertugas membantu humas untuk mengawasi pameran
• Bendahara bertugas untuk menyimpan uang pameran
2. a. merasa puas hati karena hasil pameran mendapat dukungan dari para pengunjung
Jawaban:
informasi atau mengadakan promosi menyampaikan tentang pameran sekolah adalah (d)seksi perlengkapan umum
9. Selesaikan persamaan dibawah ini menggunakan metode biseksi serta buatlah grafik atas hal tersebut? Persamaan : x3 - 7x + 1 Batas Atas : 1 Batas Bawah : 0 Nilai e : 0,0001 Banyak (n) : ?
Tolong dikonfirmasi itu persamaan nya adalah :
x^3-7*x+1, betul?
Penjawab berasumsi penanya sudah diajarkan materi ini, hanya mungkin pemaparan kurang jelas, tidak mudah dimengerti, alih-alih penanya tidak/belum berpikir, ataukah?
Sekilas teori:
yang penting f(a).f(b) harus negatif tau kan artinya?
lalu dicari rata2 a & b, di mana salah satu a dan b ini menjadi c asal tadi f(a).f(b) negatif.
Ini terlihat pada contoh garis merah dan biru, terlampir.
Untuk memastikan dapat dilakukan penggambaran kurva, terlebih dahulu, lampiran 2.
Maka dari itu tebakan a dan b dari semua harus pas, kalau tidak ya, tidak ketemu.
Langkah terakhir adalah menghitung f(c) agar lebih kecil dari toleransi. Jumlah baris iterasi itu lah yang dosen tanyakan ke kamu, dan kamu tanyakan ke sini.
Langkah secara detail dapat dibaca di modul buku mu, dan pengerjaan dapat menggunakan alat bantu apapun, meskipun sekedar excel.
Namun bahasa pemrograman rupanya lebih stylish dan terkesan otomatis.
10. Tolong dibantu ya A. f(x) = 3x^3 – 9x^2 + 24x - 5 Tentukan akar-akar persamaan non linier tersebut dengan metode numerik berikut : a. Metode Biseksi, b. Metode Regula Falsi, c. Metode Secan, d. Metode Newton Raphson, e. Metode Iterasi Titik Tetap, Pilih minimal 3 metode untuk menjawab soal ini, masing-masing metode 5 iterasi, dan hasil akhirnya dibulatkan sampai 3 angka desimal ! Buat analisanya !
Jawaban:
B.motode regula falsi
D.motode newton rapshon
E.motode Iterasi titik tetap
semoga membantu ya:)
11. Selesaikan persamaan : y = x+e x = 0 dengan range x = (-1,0) Dengan menggunakan metode tabel dan biseksi
Jawaban:
belum paham tentang itu saya lupa...Maafff
Penjelasan dengan langkah-langkah:
12. carilah akar- akar dari persamaan y= 3x²+4x-4 a. metode analitik. b. metode biseksi. c. metode iterasi sederhana.
(-3x + 2)(x + 2) = 0
-3x + 2 =0 x+2=0
-3x=-2. x=-2
x = 2/3
jadi akar akar nya 2/3 dan -2
semoga membantu....
akarnya 2 dan -3
maaf kalo salah
13. Ditinjau sebuah fungsi nonlinier f (x)=cos (x)−x. Dengan menggunakan metode bagi dua atau Biseksi akan ditunjukkan cara memperoleh akar persamaan cos (x )−x=0 Terkaan awal untuk mengurung akar diberikan a = 0 dan b=1.0 Maka berapakah nilai x (titik tengah)
Nilai x (titik tengah) pada fungsi nonlinier f (x)=cos (x)−x. Dengan menggunakan metode bagi dua atau biseksi adalah 0,5.
Penjelasan dengan langkah-langkahDiketahui: Ditinjau sebuah fungsi nonlinier f (x) = cos (x) −x. Dengan menggunakan metode bagi dua atau Biseksi akan ditunjukkan cara memperoleh akar persamaan cos (x )−x=0 Terkaan awal untuk mengurung akar diberikan a = 0 dan b = 1.0 Ditanya: Maka berapakah nilai x (titik tengah)?Jawab:Langkah 1
Tentukan nilai xr (titik tengah) dengan mengambil nilai rata-rata dari nilai a dan b.
Dengan cara menghitung rata-rata a dan b, maka:
xr = (a + b) / 2
xr = (0 + 1.0) / 2
xr = 0.5
Langkah 2
Jadi, nilail x (titik tengah) yang diperoleh adalah 0.5.
Pelajari lebih lanjutMateri tentang titik tengah: https://brainly.co.id/tugas/1739623
#BelajarBersamaBrainly #SPJ1
14. tentukan salah satu akar dari persamaan tak linear f(x) = x3 - 3x2- 0,5 dengan mengunakan metode biseksi. jika diketahui nilai awal a=0 dan b=35 dan toleransi galat relatif adalah 0,02 serta ketelitian hingga 2 desimalMohon di bantu
Jawab:
a = 0, b = 35
f(a) = (0)³ - 3(0)² - 0.5
f(a) = -0.5
f(b) = (35)³ - 3(35)² - 0.5
f(b) = 39199.5
karena f(a) × f(b) < 0, kita hitung x dan f(x) dimana
x = (a + b) / 2
x = (0 + 35) / 2
x = 17.5
f(x) = (17.5)³ - 3(17.5)² - 0.5
f(x) ≈ 4440.63
karena f(x) × f(a) < 0, kita ubah nilai b menjadi nilai x (b = x dan f(b) = f(x)). kemudian kita ulang kembali proses sebelumnya. proses ini kita ulang hingga |b - a| < e atau |b - a| < 0.02
a = 0, b = 17.5
f(a) = -0.5
f(b) = f(x) = 4440.13
karena f(a) × f(b) < 0, hitung lagi x dan f(x) nya:
x = (0 + 17.5) / 2
x = 8.75
f(x) = (8.75)³ - 3(8.75)² - 0.5
f(x) = 439.73
karena masih f(x) × f(a) < 0,
a = 0, b = 8.75
f(a) = -0.5
f(b) = f(x) = 439.73
cari x baru lagi...
x ≈ 4.38
f(x) ≈ 25.97
masih f(x) × f(a) < 0 ...
a = 0, b = 4.38
f(a) = -0.5
f(b) = f(x) = 25.97
x = 2.19
f(x) ≈ -4.38
karena f(x) × f(a) < 0 kini tidak terpenuhi, maka kini nilai a yang diubah menjadi x sehingga a = x dan f(a) = f(x). nilai b tetap pakai yang terakhir, jadi:
a = 2.19, b = 4.38
f(a) = f(x) = -4.38
f(b) = 25.97
cari x baru lagi...
x ≈ 3.29
f(x) ≈ 2.64
karena f(x) × f(a) < 0, maka:
a = 2.19, b = 3.29
f(a) = -4.38
f(b) = f(x) ≈ 2.64
cari x baru lagi...
x = 2.74
f(x) ≈ -2.45
karena kini f(x) × f(a) > 0, maka:
a = 2.74, b = 3.29
f(a) = f(x) = -2.45
f(b) = 2.64
cari x baru lagi ...
x ≈ 3.02
f(x) ≈ -0.32
karena kini f(x) × f(a) > 0, maka:
a = 3.02 b = 3.29
f(a) = f(x) = -0.32
f(b) = 2.64
cari x baru lagi
x ≈ 3.16
f(x) ≈ 1.1
karena f(x) × f(a) < 0, maka:
a = 3.02, b = 3.16
f(a) = -0.32
f(b) = f(x) = 1.1
cari x baru lagi ...
x = 3.09
f(x) ≈ 0.36
karena f(x) × f(a) < 0, maka:
a = 3.02, b = 3.09
f(a) = -0.32
f(b) = f(x) = 0.36
cari x baru lagi...
x ≈ 3.06
f(x) ≈ 0.06
karena f(x) × f(a) < 0, maka:
a = 3.02, b = 3.06
f(a) = -0.32
f(b) = f(x) = 0.06
cari x baru lagi:
x = 3.04
f(x) ≈ -0.13
karena kini f(x) × f(a) > 0, maka:
a = 3.04, b = 3.06
f(a) = f(x) = -0.13
f(b) = 0.06
cari x baru lagi
x = 3.05
f(x) ≈ -0.03
karena kini f(x) × f(a) > 0, maka:
a = x = 3.05, b = 3.06
di titik ini, kita telah memperoleh angka a dan b dimana |b - a| < e atau |3.06 - 3.05| < 0.02. dalam kondisi ini, x adalah salah satu akar persamaan.
sehingga, salah satu akar dari persamaan f(x) = x³ - 3x² - 0.5 adalah 3.05
15. 3. Dengan menggunakan metode setengah interval (biseksi) cari salah satu akar dari persamaan berikut: 3x - 3x² = 0 Dengan selang [0,2] dan batas toleransi 0,20. 4. Tentukan salah satu akar dari persamaan tak linear berikut: x³ - 2x - 5 dengan menggunakan metode Newton Raphson. Jika diketahui nilai awal x₁ = 1 dan toleransi galat relatifnya adalah 0.01 serta ketelitian hingga 3 desimal.
3. Untuk mencari akar persamaan 3x - 3x² = 0 dengan menggunakan metode setengah interval (biseksi) dalam selang [0,2] dan batas toleransi 0,20, berikut adalah langkah-langkahnya:
Langkah 1: Tentukan batas awal selang [a, b]. Dalam kasus ini, a = 0 dan b = 2.
Langkah 2: Hitung nilai fungsi pada titik tengah selang, c = (a + b) / 2.
f(c) = 3c - 3c²
Langkah 3: Periksa kondisi berhenti. Jika |f(c)| < toleransi yang ditentukan, maka c adalah akar yang diinginkan. Jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.
Langkah 4: Tentukan selang baru berdasarkan tanda fungsi pada c. Jika f(c) memiliki tanda yang sama dengan f(a), maka selang baru adalah [c, b]. Jika tanda f(c) sama dengan f(b), maka selang baru adalah [a, c].
Langkah 5: Ulangi langkah 2 hingga langkah 4 dengan selang baru yang ditentukan hingga mencapai batas toleransi.
Berikut adalah beberapa langkah perkiraan yang dilakukan dalam metode biseksi:
Langkah 1: a = 0, b = 2
Langkah 2: c = (0 + 2) / 2 = 1
f(1) = 3(1) - 3(1)² = 0
Langkah 3: Karena f(1) = 0, maka c = 1 adalah akar persamaan.
Langkah 4: Selesai.
Jadi, akar persamaan 3x - 3x² = 0 dalam selang [0,2] dengan batas toleransi 0,20 adalah x = 1.
4. Untuk mencari akar persamaan tak linear x³ - 2x - 5 menggunakan metode Newton-Raphson dengan nilai awal x₁ = 1, toleransi galat relatif 0.01, dan ketelitian hingga 3 desimal, berikut adalah langkah-langkahnya:
Langkah 1: Tentukan persamaan fungsi:
f(x) = x³ - 2x - 5
Langkah 2: Turunkan fungsi tersebut untuk mendapatkan turunan f'(x):
f'(x) = 3x² - 2
Langkah 3: Mulai dengan nilai awal x₁ = 1.
Langkah 4: Hitung nilai fungsi dan turunannya pada x₁:
f(x₁) = (1)³ - 2(1) - 5 = -6
f'(x₁) = 3(1)² - 2 = 1
Langkah 5: Hitung x₂ dengan menggunakan rumus iterasi Newton-Raphson:
x₂ = x₁ - (f(x₁) / f'(x₁))
x₂ = 1 - (-6 / 1) = 7
Langkah 6: Periksa kondisi berhenti. Jika |(x₂ - x₁) / x₂| < toleransi yang ditentukan, maka x₂ adalah akar yang diinginkan dengan ketelitian yang mencukupi. Jika tidak,
lanjutkan ke langkah berikutnya.
Langkah 7: Set x₁ = x₂ dan ulangi langkah 4 hingga langkah 6 dengan x₁ baru hingga mencapai batas toleransi.
Berikut adalah beberapa langkah perkiraan yang dilakukan dalam metode Newton-Raphson:
Langkah 1: x₁ = 1
Langkah 2: f(x₁) = -6, f'(x₁) = 1
Langkah 3: x₂ = 7
Langkah 4: |(7 - 1) / 7| = 0.857 > 0.01 (toleransi)
Kembali ke langkah 4 dengan x₁ = 7
Langkah 5: f(x₁) = 322, f'(x₁) = 147
Langkah 6: x₂ ≈ 6.188
Langkah 7: |(6.188 - 7) / 6.188| ≈ 0.116 > 0.01 (toleransi)
Kembali ke langkah 4 dengan x₁ ≈ 6.188
Langkah 5: f(x₁) ≈ 1.414, f'(x₁) ≈ 111.819
Langkah 6: x₂ ≈ 6.066
Langkah 7: |(6.066 - 6.188) / 6.066| ≈ 0.02 < 0.01 (toleransi)
Jadi, dengan menggunakan metode Newton-Raphson, salah satu akar persamaan tak linear x³ - 2x - 5 dengan nilai awal x₁ = 1, toleransi galat relatif 0.01, dan ketelitian hingga 3 desimal adalah x ≈ 6.066.
16. Hitung akar persamaan berikut dlm metode biseksi, regulasi falsi dan Newton Raphson jika diketahui akar persamaan non linier f(x)=e^−5x^2 . jika e = 0.0001 dengan range (1,2).Ket: ^ = akarMohon bantuanya teman-teman
Jawaban:
Persamaan non-linier dapat diartikan sebagai persamaan yang tidak mengandung syarat seperti persamaan linier, sehingga persamaan non-linier dapat merupakan:
A. Persamaan yang memiliki pangkat selain satu (misal:
x
2
)
B. Persamaan yang mempunyai produk dua variabel (misal:
x
y
)
Penjelasan:
persamaan non-linier diperlukan akar-akar persamaan non-linier, dimana akar sebuah persamaan non-linier
f
(
x
)
=
0
merupakan nilai
x
yang menyebabkan nilai
f
(
x
)
sama dengan nol. Dalam hal ini dapat disimpulkan bahwa akar-akar penyelesaian persamaan non-linier merupakan titik potong antara kurva
f
(
x
)
dengan sumbu
x
. Ilustrasi penjelasan
smoga bisa membantu ya kak
Tolong jadikan jawaban tercerdas ya kak
17. 1. Perusahaan tambang yang sedang melakukan eksplorasi melakukan penelitian kandungan emas disuatu tempat. Berdasarkan hasil penelitian, kandungan emas mengikuti jalur lintasan y=f(x) = ex Menurut data satelit, untuk mendapatkan kandungan emas terbanyak ada di posisi x=0.4. Jika posisi pengeboran tersebut dihitung menggunakan pendekatan deret Taylor sampai dengan 4 suku pertama, hitunglah (pembulatan 4 angka dibelakang koma), Hitunglah : a. Nilai f(0.5) untuk fungsi f(x) = ex b. Galat mutlak dan relatifnya 2. Diketahui sebuah persamaan non linier f(x) = x³ - 3x² + 8x - 5 Tentukan akar-akar persamaan non linier tersebut dengan metode numerik berikut : a. Metode Biseksi, nilai awal x₁ = -1 dan x₂ = 2 b. Metode Regula Falsi, nilai awal x₁ = -1 dan x₂ = 2 c. Metode Secan, nilai awal x₁ = -1 dan x₁ = 2 Masing-masing metode 3 iterasi, dan hasil akhirnya dibulatkan sampai 3 angka desimal ! Buat analisanya!
Penjelasan dengan langkah-langkah:
1. Untuk menghitung nilai f(0.5) dengan menggunakan pendekatan deret Taylor sampai dengan 4 suku pertama, kita perlu mengetahui taylor series dari fungsi f(x) = ex. Taylor series dari fungsi f(x) = ex adalah sebagai berikut:
f(x) = ex = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
Sekarang, kita dapat menggunakan deret Taylor tersebut untuk menghitung nilai f(0.5) sampai dengan 4 suku pertama.
f(0.5) = 1 + 0.5 + 0.5^2/2! + 0.5^3/3! + 0.5^4/4!
= 1 + 0.5 + 0.125 + 0.04166666666666666666666666667 + 0.0083333333333333333333333333333
= 1.73958333333333333333333333333
Jadi, nilai f(0.5) untuk fungsi f(x) = ex adalah 1.73958333333333333333333333333 jika dihitung menggunakan pendekatan deret Taylor sampai dengan 4 suku pertama.
Untuk menghitung galat mutlak dan galat relatif, kita perlu mengetahui nilai yang sebenarnya dari f(0.5). Nilai yang sebenarnya dari f(0.5) adalah e^0.5. Menggunakan kalkulator, nilai e^0.5 adalah 1.648721270700128.
Sekarang, kita dapat menghitung galat mutlak dan galat relatif sebagai berikut:
Galat mutlak = |1.73958333333333333333333333333 - 1.648721270700128| = 0.090862062
Galat relatif = |0.090862062 / 1.648721270700128| = 0.005501986
Jadi, galat mutlaknya adalah 0.090862062 dan galat relatifnya adalah 0.005501986.
2. Metode biseksi adalah metode yang digunakan untuk mencari akar persamaan non-linier dengan cara membagi interval yang mengandung akar tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Metode ini akan menghasilkan akar yang tidak jauh dari akar sebenarnya.
Untuk melakukan metode biseksi dengan nilai awal x₁ = -1 dan x₂ = 2, kita perlu melakukan beberapa langkah:
Tentukan interval yang mengandung akar dengan mencari nilai f(x₁) dan f(x₂). Jika f(x₁) dan f(x₂) memiliki tanda yang berbeda, maka interval tersebut mengandung akar.Tentukan nilai tengah interval tersebut dengan mencari x₃ = (x₁ + x₂) / 2.Tentukan nilai f(x₃). Jika f(x₃) = 0, maka x₃ adalah akar persamaan tersebut. Jika tidak, lanjutkan ke langkah selanjutnya.Jika f(x₁) dan f(x₃) memiliki tanda yang berbeda, maka interval baru yang mengandung akar adalah [x₁, x₃]. Sebaliknya, jika f(x₂) dan f(x₃) memiliki tanda yang berbeda, maka interval baru yang mengandung akar adalah [x₃, x₂].Ulangi langkah 2 sampai 5 hingga hasil yang diinginkan tercapai.Dengan demikian, untuk mencari akar persamaan non linier f(x) = x³ - 3x² + 8x - 5 dengan metode biseksi, kita bisa melakukan beberapa iterasi seperti berikut:
Iterasi 1:
x₁ = -1, x₂ = 2, x₃ = (x₁ + x₂) / 2 = 0.5
f(x₁) = -1³ - 3(-1)² + 8(-1) - 5 = -1 - 3 + 8 - 5 = -1
f(x₂) = 2³ - 3(2)² + 8(2) - 5 = 8 - 12 + 16 - 5 = 7
f(x₃) = 0.5³ - 3(0.5)² + 8(0.5) - 5 = 0.125 - 0.75 + 4 - 5 = -0.625
Interval baru yang mengandung akar adalah [x₁, x₃] = [-1, 0.5]
Iterasi 2:
x₁ = -1, x₂ = 0.5, x₃ = (x₁ + x₂) / 2 = -0.25
f(x₁) = -1³ - 3(-1)² + 8(-1) - 5 = -1 - 3 + 8 - 5 = -1
f(x₃) = -0.25³ - 3(-0.25)² + 8(-0.25) - 5 = -0.015625 - 0.1875 + 2 - 5 = -3.171875
Interval baru yang mengandung akar adalah [x₁, x₃] = [-1, -0.25]
Iterasi 3:
x₁ = -1, x₂ = -0.25, x₃ = (x₁ + x₂) / 2 = -0.625
f(x₁) = -1³ - 3(-1)² + 8(-1) - 5 = -1 - 3 + 8 - 5 = -1
f(x₃) = -0.625³ - 3(-0.625)² + 8(-0.625) - 5 = -0.3984375 - 0.734375 + 5 - 5 = -2.1328125
Sementara itu, metode regula falsi adalah metode yang digunakan untuk mencari akar persamaan non-linier dengan cara mencari titik potong antara garis yang melalui dua titik pada grafik f(x) dengan sumbu x. Metode ini akan menghasilkan akar yang lebih dekat dengan akar sebenarnya daripada metode biseksi.
18. Komputasi numerik Tentukan salah satu akar persamaan berikut f(x)=2x3−4x2−6 pada selang [2,9] dan ϵ=0,05. Gunakan metode Biseksi dengan batas ketelitian 3 angka desimal!
Jawaban:
Gwh gak tau jawabannya
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Jangan tananya gw oke
19. 1. Gunakan metode bagi dua untuk menyelesaikan persamaan berikut ini : x³ – 2x² + 6x = 10 a = 1,7 b = 1,8dan toleransi galat relatifnya adalah 0.02 dan ketelitiannya hingga 3 desimal.2. Tentukan salah satu akar dari persamaan tak linear berikut: f(x) = x² − 4x = 0dengan menggunakan metode Biseksi. Jika diketahui selang [1,5] dan batas toleransi galat relatif adalah 0,3 serta ketelitian hingga 3 desimal.3. Jika diketahui persamaan tak linier x³ + cos x = 0, maka tentukan akar persamaannya jika tebakan awalnya adalah x = 0 dan x = 1 dengan menggunakan Metode Regula falsi.
Galat relatif = |(1.7875 - 1.775) / 1.7875| = 0.007Nilai selisih antara f(c) dengan nol adalah 0.03125/0.234 x 100% = 13.35% Diperoleh akar persamaan x³ + cos x = 0 dengan tebakan awal x = 0 dan x = 1 menggunakan metode Regula Falsi.Penjelasan dengan langkah-langkah:
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan menggunakan metode bagi dua:
Tentukan interval awal [a, b] yang mengandung akar persamaan adalah x³ – 2x² + 6x = 10.
Mencari nilai f(a) dan f(b) terlebih dahulu:
f(a) = a³ - 2a² + 6a - 10 = -0.719f(b) = b³ - 2b² + 6b - 10 = 0.862Dalam hal ini, kita dapat mengambil interval [a, b] = [1.7, 1.8].
Hitung nilai tengah (c) dari interval [a, b]
c = (a + b) / 2 = 1.75Hitung nilai f(c) dan tentukan tanda dari f(c)
f(c) = c³ - 2c² + 6c - 10 = -0.010Periksa apakah nilai f(c) sudah memenuhi toleransi galat relatif yang ditentukan
Galat relatif = |(c - c_sebelumnya) / c|
Karena ini adalah iterasi pertama, kita dapat memilih c_sebelumnya = a atau b, dalam hal ini kita pilih a = 1.7.
Galat relatif = |(1.75 - 1.7) / 1.75| = 0.0286Karena galat relatif masih lebih besar dari toleransi galat relatif yang ditentukan (0.02), maka kita perlu melakukan iterasi lagi.
Ulangi langkah 2-5 sampai nilai galat relatif sudah memenuhi batas toleransi yang ditentukan
Iterasi ke-2:
c = (a + b) / 2 = 1.775
f(c) = c³ - 2c² + 6c - 10 = -0.0065
Galat relatif = |(1.775 - 1.75) / 1.775| = 0.0141
Karena galat relatif masih lebih besar dari toleransi galat relatif yang ditentukan (0.02), maka kita perlu melakukan iterasi lagi.
Interval baru adalah [1.775, 1.8]
Iterasi ke-3:
c = (a + b) / 2 = 1.7875
f(c) = c³ - 2c² + 6c - 10 = 0.001
Galat relatif = |(1.7875 - 1.775) / 1.7875| = 0.007
Untuk menerapkan metode biseksi, langkah-langkahnya:
Tentukan selang awal [a,b] yang mengandung akar persamaan f(x) = x² - 4x = 0. Dalam kasus ini, selang awal adalah [1,5].Hitung nilai tengah (c) dari selang awal: c = (a+b)/2Hitung nilai f(c). Jika f(c) = 0 atau nilai f(c) sudah mencapai toleransi error yang diinginkan, maka c adalah akar persamaan yang dicari. Selesai.Jika f(c) tidak sama dengan 0 dan belum mencapai toleransi error, tentukan selang baru [a,b] yang mengandung akar persamaan, dengan aturan sebagai berikut:Jika f(c) dan f(a) memiliki tanda yang sama, maka akar berada pada selang [c,b].Jika f(c) dan f(b) memiliki tanda yang sama, maka akar berada pada selang [a,c].Kembali ke langkah 2 dan ulangi prosesnya dengan menggunakan selang baru [a,b].Dalam kasus ini, batas toleransi galat relatif adalah 0.3, artinya persamaan harus diselesaikan hingga nilai f(c) mencapai selisih kurang dari 0.3% dari nilai c.Berikut ini adalah tabel perhitungan menggunakan metode biseksi:
a b c f(a) f(b) f(c) akar relatif
1 5 3 -3 5 -3 -
3 5 4 3 5 4 0.25
4 5 4.5 4 1 1.25 0.125
4.5 5 4.75 1.25 -1.25 -0.156 0.0625
4.75 5 4.875 -0.156 0.625 0.234 0.03125
Dari tabel di atas, nilai akar relatif dapat diperoleh dengan mengecek apakah nilai f(c) sudah mencapai batas toleransi error atau belum. Pada iterasi ke-4, selisih antara f(c) dengan nol adalah 0.156/1.25 x 100% = 12.48% yang masih melebihi batas toleransi error 0.3%, sehingga perlu dilakukan iterasi berikutnya. Setelah dilakukan iterasi ke-5, nilai selisih antara f(c) dengan nol adalah 0.03125/0.234 x 100% = 13.35% yang masih melebihi batas toleransi error. Dalam kasus ini, dapat diterima untuk menghentikan proses iterasi.
Metode Regula Falsi atau Metode Posisi Palsu (False Position Method) adalah metode numerik untuk mencari akar dari sebuah persamaan tak linear.
Persamaan yang akan dicari akarnya adalah x³ + cos x = 0. Tebakan awal yang diberikan adalah x = 0 dan x = 1.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Tentukan interval awal [a, b] yang mengandung akar persamaan tersebut. Dari grafik persamaan tersebut, dapat dilihat bahwa interval yang mengandung akar adalah [-1, 0] dan [0, 1].
Tentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal sebagai tebakan akar yang baru. Dalam metode Regula Falsi, titik potong ini diperoleh dari persamaan garis lurus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Persamaan garis lurusnya adalah:
(f(b) - f(a))/(b - a) = f(x) - f(a)/(x - a)Dari persamaan di atas, diperoleh:
x = a - (f(a) * (b - a))/(f(b) - f(a))Dalam hal ini, x yang diperoleh akan menjadi tebakan akar yang baru.
Hitung nilai f(x) dari tebakan akar yang baru.
Tentukan apakah tebakan akar yang baru menghasilkan solusi yang lebih akurat atau tidak.
Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, dapat diperoleh akar persamaan x³ + cos x = 0 dengan tebakan awal x = 0 dan x = 1 menggunakan metode Regula Falsi.
Pelajari Lebih lanjutMetode bagi dua atau Biseksi https://brainly.co.id/tugas/53641232
#BelajarBersamaBrainly#SPJ1
20. 8. Buktikan teorema Bolzano-Weiestrass. (jika menggunakan cara 1 buktikan juga teorema-teorema yang digunakan dalam pembuktian jika menggunakan cara biseksi tidak perlu membuktikan teorema interval susut).
Jawaban:
Teorema Bolzano-Weierstrass menyatakan bahwa setiap himpunan terbatas dari bilangan real memiliki subhimpunan tak hingga yang memiliki batas.
Bukti menggunakan metode interval susut melibatkan teorema-teorema seperti Teorema Kekekalan Interval (setiap interval yang mendekati nol memiliki setidaknya satu titik yang ada di semua interval tersebut) dan Teorema Interval Tertutup dan Terbatas (setiap interval tertutup dan terbatas pada bilangan real memiliki titik batas).
Bukti menggunakan metode biseksi melibatkan pendekatan iteratif dengan membagi interval secara berulang menjadi interval yang lebih kecil. Teorema-teorema seperti teorema monotonik dan teorema limit digunakan untuk mengonfirmasi keberadaan batas.
Jawaban:
Teorema Bolzano-Weierstrass menyatakan bahwa setiap barisan bilangan real terbatas pasti memiliki subbarisan konvergen.
Cara 1:
1. Teorema bahwa setiap barisan terbatas pasti memiliki sup dan inf yang terdefinisi di bilangan real.
2. Teorema bahwa setiap bilangan real memiliki tengah (median) yang terdefinisi.
3. Jika ada bilangan u dalam suatu interval yang membuat fungsi pada interval tersebut bernilai positif dan bilangan v dalam interval yang membuat fungsi bernilai negatif, maka pasti ada suatu bilangan r di antara u dan v yang membuat fungsi bernilai 0 (Teorema Keberadaan Akar).
4. Dari ketiga teorema di atas, maka setiap barisan bilangan real terbatas pasti memiliki subbarisan dengan dua sifat berikut: monoton dan terbatas. Kemudian, Dari teorema Monotonic Convergence, subbarisan tersebut pasti konvergen.
Cara 2:
Metode cara biseksi dapat digunakan untuk membuktikan Teorema Bolzano-Weierstrass tanpa perlu menggunakan teorema tambahan. Metode ini bekerja sebagai berikut:
1. Pertama, tentukan interval awal [a, b] yang memuat seluruh bilangan dalam barisan.
2. Hitung nilai tengah m = (a + b) / 2.
3. Tentukan apakah subinterval [a, m] atau [m, b] memuat bilangan dari barisan tersebut.
4. Ambil subinterval yang memuat bilangan dari barisan dan ulangi langkah 2 hingga interval yang terpilih memiliki panjang 0.
5. Dari pembagian interval tersebut, akan diperoleh subbarisan yang konvergen ke suatu bilangan, mengikuti Teorema Interval Susut yang terbukti dari cara biseksi.
